近自由电子模型与紧束缚模型--两种近似方式
近自由电子模型和紧束缚模型是能带理论最基础的内容。二者以不同的近似方式解释了固体能带的成因。
共同之处
- 均为绝热近似（简单讲就是：研究电子性质时忽略离子实的运动）
- 均为单电子近似（不考虑电子间相互作用，只考虑单个电子在周期势中的性质。解出体系的能级结构，然后把所有电子填进去）
- 均用到周期性边界条件（不太确定是否一定需要，”但Brillouin区内波矢k可以取值的数目等于晶体元胞数”这一结论似乎只能有它得到吧？not sure）
- 均用到Bloch定理（将电子所处的晶格体系看作周期性势场，体系哈密顿量具有平移不变性，这使得电子的波函数满足一定的形式$$\psi_k(r) = e^{ikr} u_{k,j}(r)$$。（其中$$u_{k,j}$$具有于与晶格一样的周期性，k指上条说到的波失，j指的是电子所处的能带，一对k，j指代了一个波函数
不同之处
近自由电子模型是对离子实的势做近似，假设势十分弱。经计算可发现，在这种情况下，势只对处于Brillouin区边界处的电子（k靠近Brillouin区）
产生影响，导致能级发生分裂。而非边界处的电子能级则与自由电子一样。
紧束缚近似则是对电子的波函数做近似，假设原子最电子的束缚十分强，orbital态仍然保持不变，只是电子可以在相邻原子间跳转。这样，单电子所处的状态
就是一种各种orbital的叠加态。又由于外势的周期性，电子满足Bloch定理，由此可以构造出电子所处的状态了：
$$
\psi_k(r) = \sum_T e^{ikT} \phi(r-T)
$$
其中$$k$$代表Bloch波失，取值范围是倒空间Brillouin区中的离散位置。 $$\phi(r-T)$$ 代表位于 $$T$$ 位置的原子orbital。
有了电子的状态，再根据这个状态和Schrodinger方程，经过一些计算就可以得到不同$$k$$ 态对应的能级了。