这样赌，一定赢？

0. 核心科技

室友称自己掌握了赌博的核心科技(虽然目前应用地不是很顺利)。于夜深人静之时传授于我，陈述如下：

记住！如果你第一次输了，第二次就将赌注加倍；如果第二次又输了，再将赌注加倍；…依次类推，不管赢的概率再小，照这种方式操作，只要你有足够多的钱，总会等到赢的那一次。然后，你就赚到了你想赢得钱！！！
听起来好有道理！如果你已经忍不住想试一下，你可以去 网易彩票 - 新快3 猜数字。合法赌博！

不过，这种方法是否真的像看上去那么有效？还是先拿 概率论 来学以致用一下，毕竟关系到RMB啊。。

1. 貌似挺对

假设赌博胜负的概率真的是随机的，每一次赢的概率为 $$p$$。我们一共进行n次赌博。那么，
在第一次赢的概率就是： $$p$$；
在第二次赢的概率是： $$(1-p)p$$（条件概率，还记得吧）；
在第三次：$$(1-p)^2p$$；
…
在第n次：$$(1-p)^{n-1} p$$。

下图说明了当$$p=0.4$$时，在第n次获胜的概率：

在第n次获胜的概率

利用等比数列前n项和公式可得，在前n次赢的概率是：

$$P_n = p + (1-p)p + (1-p)^2 p + \dots + (1-p)^{n-1} p = 1-(1-p)^n $$

容易证明：

$$
\lim_{n \to \infty} P_n = 1
$$

也就是说，如果你不差钱，利用刚刚的规则，的确，总有一天会赢的。来看看当 $$p=0.4$$时，在前n次获胜的概率：

在前n次获胜的概率

然而现实生活总是差钱的，看看这种策略是怎么花钱的应该不是坏事。

2. 考虑成本

假设我们的目标收益是 1 元，在第n次下注时我们所投入的总资金：

第一次：1元
第二次：2元
第三次：4元
第四次：8元
…
第n次：$$2^{n-1}$$ 元
总投入：$$M = 1 + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{n-1}$$ 元

来看一下 $$M, n$$ 的关系：

在前n次的总投入M

在真实生活中，我们可以输掉的钱是有限的（从图中可以看出，如果第35次还没赢，需要投入350亿元，不是马云的儿子，敢玩？）。

由于资金的限制，导致我们无法玩无穷多次，于是，我们就有可能会输了（很遗憾）。可以来计算一下，当我们有一定的预算（$$M$$）时，期望收益($$E$$)是多少。但是要怎么计算期望呢？先来看一个例子：
假设预算是$$3$$元，那么，最多可以赌两次。于是赢的概率是 $$P_{win} = 1 - (1-p)^1$$；期望收益可以用下式表示：

$$
E = p_{win} \times 1 - (1-p_{win}) \times 3
$$

按照这样的方法，我们可以计算出不同预算对应的期望收益。

还是以$$p=0.4$$为例，期望与预算的关系如图所示，为方便起见，这里的预算取为作n次总投资所需要的资金：

期望收益与预算的关系

预算

看到这张图，我好像明白了什么，，你呢 SiPu You？